Degree

Die grundlegende und meist untersuchte Eigenschaft einzelner Knoten ist der Degree. Der Degree $k$ eines Knotens bezeichnet die Anzahl seiner Verbindungen zu anderen Knoten. In gerichteten Netzwerken ist der Indegree $k_i$ die Anzahl der Verbindungen, die an diesem Knoten enden und der Outdegree $k_o$ die Anzahl der abgehenden Verbindungen. Entsprechend wird $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$ als Gesamtdegree oder Degree eines Knotens in gerichteten Netzwerken bezeichnet. Der Degree $k$ eines Knotens in ungerichteten Netzwerken ist nicht notwendigerweise mit dem Gesamtdegree $k_{\rightleftharpoons}$ eines Knotens in gerichteten Netzwerken identisch. Existieren zwischen zwei Knoten ein Hin- und Rücklink, so entspricht der Gesamtdegree beider Knoten $k_{\rightleftharpoons}=2$. Interpretiert man dieses Beispiel ungerichtet, so entspricht der Gesamtdegree jeweils $k=1$ (vgl. Abb. 2.1). Im Falle einer Baumstruktur ist $k=k_{\rightleftharpoons}$.

Abbildung: Unterschied zwischen dem Gesamtdegree in gerichteten $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$ und ungerichteten Netzwerken $k$.

Unter den obigen Vorraussetzungen entspricht der Degree der Anzahl nächster Nachbarn eines Knotens. Die einzelnen Verteilungen der Knoten-Degrees stellen einen wesentlichen Teil dieser Arbeit dar, daher werden diese im Folgenden genauer definiert

• $P(k_i,k_o)$ bezeichnet die gemeinsame Verteilung der Knoten nach deren In- und Out-Degree.
• $P(k)$ bzw. $P(k_{\rightleftharpoons})$ bezeichnet die Verteilung der Knoten in Abhängigkeit von deren Degree. Für gerichtete Netzwerke ist $k_{\rightleftharpoons }=k_i+k_o$.
• $P_{in}(k_i)$ bezeichnet die Verteilung der Knoten nur in Abhängigkeit von deren In-Degree.
• $P_{out}(k_o)$ bezeichnet die Verteilung der Knoten nur in Abhängigkeit von deren Out-Degree.

Alle Verteilungen lassen sich aus der gemeinsamen Verteilung bestimmen

$$P(k_{\rightleftharpoons}) = \sum_{k_o}P(k_{\rightleftharpoons}-k_o, k_o) = \sum_{k_i}P(k_i, k_{\rightleftharpoons}-k_i),$$ (2.1)

$$P_{in}(k_i) = \sum_{k_o}P(k_i,k_o),$$ (2.2)

$$P_{out}(k_o) = \sum_{k_i}P(k_i,k_o)$$ (2.3)

Unter der obigen Vorraussetzung, daß keine Verbindungen von oder zu einem Knoten außerhalb des Netzwerks existieren, sind der mittlere In-Degree $<k_i>$ und Out-Degree $<k_o>$ gleich der mittleren Konnektivität $<k>$. Mit $<k>$ als Quotient aus der Knotenanzahl $N$ und der Verbindungsanzahl $N_L$ im Netzwerk.

Wenn keinerlei Korrelationen zwischen den Knoten und ihren Degrees existieren, wird die Struktur des Netzwerks vollständig durch die gemeinsame Verteilung $P(k_i,k_o)$ beschrieben.